在现代 CAD、BIM、工程软件以及云原生 CAD 系统中，三维几何建模技术是核心基础。无论是工业设计、机械制造，还是建筑建模、三维打印，都离不开对几何建模技术的理解与应用。本文将系统梳理三维几何建模的分类、运算操作和主流几何内核，为 CAD 新人和技术研发人员提供完整参考。

一、前言

三维几何建模技术的发展经历了从简单到复杂的演变过程：

  1. 早期线框（Wireframe）建模：只用顶点和线段描述物体，没有面和体积，无法进行布尔运算，主要用于草图和初步可视化。
  2. 边界表示（B-Rep）：引入面（Face）概念，结合拓扑结构实现实体建模，成为现代工业 CAD 的主流。
  3. 构造实体几何（CSG）：以布尔树和原语构建实体，逻辑清晰但表达复杂形体能力有限。
  4. 曲线/曲面建模（NURBS / Freeform）：可表达复杂自由曲面，广泛用于汽车、航空、船舶等行业。
  5. 离散网格/体素建模（Mesh / Voxel）：适合 3D 打印、仿真、可视化以及游戏建模。

现代 CAD 系统通常采用 B-Rep 为核心 + 曲面建模 + CSG 或特征历史建模 + 网格/体素辅助 的混合方式。

二、三维建模技术分类

1. 边界表示（B-Rep, Boundary Representation）

B-Rep 是现代 CAD 的工业标准，核心思想是用 顶点（Vertex）、边（Edge）、面（Face）、壳（Shell）、块（Lump） 组合描述实体。

  • 几何数据：顶点坐标、边的曲线方程、面的曲面方程（NURBS）
  • 拓扑数据：面-边-顶点的邻接关系、环（Loop）、洞（Hole）等

  • 特点：

    • 支持精确布尔运算
    • 可处理复杂倒角和壳化
    • 可与曲面/自由曲面完美融合

典型应用：AutoCAD 3D、SolidWorks、Siemens NX、CATIA。

2. 构造实体几何（CSG, Constructive Solid Geometry）

CSG 使用逻辑树将原始几何体（长方体、球、圆柱等）通过布尔运算组合成复杂实体。

  • 原理：Primitive + Boolean Tree - 由体素通过一系列布尔运算生成
  • 优点：参数化清晰，便于历史建模和设计迭代
  • 缺点：难以表达复杂倒角、自由曲面，布尔树过长会影响性能

应用场景：程序化建模、早期 CAD 系统、云原生 CAD 系统中参数化表达。

3. 曲线/曲面建模（Parametric / Freeform Surface Modeling）

  • 核心数学：Bézier 曲线、B 样条（B-Spline）、NURBS
  • 用途：表达复杂自由曲面，例如汽车车身、飞机翼型、船舶外壳

  • 操作：

    • Loft：多截面曲面生成
    • Sweep：沿路径扫掠
    • Blend Surface：曲面过渡
    • Trim / Extend：曲面修剪与延伸

特点：精度高、控制性强，但计算复杂度高。

4. 离散网格 / 体素建模（Mesh / Voxel Modeling）

  • Mesh：由三角形或多边形构成表面
  • Voxel：体素网格表示三维空间

  • 应用：

    • 三维打印与扫描重建
    • 仿真分析（有限元 / CFD）
    • 游戏、数字孪生与可视化

特点：计算效率高，适合近似建模，不保证精确曲面。

三、几何建模运算操作

几何建模操作可按功能分层，形成“从几何到底层拓扑再到实体造型”的完整体系。

1. 几何基础运算

  • 点、向量、矩阵变换
  • 坐标系变换
  • 投影运算、求交
  • 最近点/距离计算

2. 拓扑层运算

  • 邻接查询、环与洞处理
  • Split / Merge / Trim / Untrim
  • 缝合（Sew / Stitch）
  • 局部修复（Healing）

3. 实体核心运算（Solid Modeling）

  • 布尔（Union / Intersect / Subtract）
  • 拉伸（Extrude）、旋转（Revolve）、扫掠（Sweep）、放样（Loft）
  • 抽壳（Shell）、加厚（Thicken）
  • 倒角与圆角（Chamfer / Fillet）

4. 曲面操作

  • 曲面修剪、延伸
  • Patch / Fill
  • 偏移面（Offset Surface）
  • 连续性控制（G0 / G1 / G2）

5. 网格 / 体素运算

  • Tessellation（三角化）
  • 网格重建 / 简化（Remesh / Simplify）
  • 平滑（Smooth）
  • 体素布尔（Voxel Boolean）

6. 几何分析与量测

  • 面积、体积、重心
  • 包围盒（AABB / OBB）
  • 最小二乘拟合（平面 / 曲面）

7. 高级特征与参数化建模

  • Feature-based（Rib / Pocket / Draft / Pattern / Mirror）
  • 参数化约束与依赖求解
  • 自由变形（Cage / Lattice）

四、主流几何建模引擎（Kernel）

现代 CAD 系统的核心是几何建模内核，它决定了布尔稳定性、倒角可靠性、曲面质量。

1. Parasolid（Siemens）

  • 工业标准，布尔运算稳定性极高
  • 用户：SolidWorks、NX、Onshape

2. ACIS（Spatial / Dassault）

  • B-Rep + NURBS 支持良好
  • 用户：AutoCAD、BricsCAD、GstarCAD

3. ShapeManager（Autodesk）

  • ACIS 的 Autodesk 定制版本
  • AutoCAD / Inventor / Revit 内核

4. Open Cascade（OCCT）

  • 开源，功能强大但性能略弱
  • 用户：FreeCAD、Salome、部分国产 CAD

5. CGAL / Geometry3

  • 专注计算几何算法
  • 网格、布尔、离散几何等场景使用

6. 轻量或自研内核

  • 云 CAD 系统常用
  • OCCT + 自研特征运算

五、总结

三维几何建模技术是 CAD 软件的核心支撑，包括：

  1. 几何表示方法：B-Rep / CSG / NURBS / Mesh
  2. 核心运算：布尔、倒角、抽壳、放样、扫掠、蒙皮
  3. 几何内核：Parasolid / ACIS / OCCT / 自研

理解 CAD 的几何建模体系，就是理解：

“表达方法 + 运算逻辑 + 内核实现”的完整协同。

对于开发 AutoCAD 替代品、云 CAD 或专业建模软件，掌握内核特性与建模运算逻辑，是设计稳定、高性能 CAD 系统的必备基础。